Площадь треугольника по формуле герона. Площадь треугольника по формуле герона Формула герона цветной рисунок
Эта формула позволяет вычислить площадь треугольника по его сторонам а, b и с:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),
где р - полупериметр треугольника, т.е. р = (а + b + с)/2.
Формула названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют героновыми. Например, это треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53.
Существуют аналоги формулы Герона для четырехугольников. В связи с тем, что задача на построение четырехугольника по его сторонам а, Ь, с и d имеет не единственное решение, для вычисления в общем случае площади четырехугольника недостаточно только знания длин сторон. Приходится вводить дополнительные параметры или накладывать ограничения. Например, площадь вписанного четырехугольника находится по формуле: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Если же четырехугольник и вписанный, и описанный одновременно, его площадь находится
по более простой формуле: S=√(abcd)
.
Герон Александрийский - греческий математик и механик.
Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др. Первым начал создавать программируемые устройства (вал со штырьками с намотанной на него верёвкой).
Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: Метрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), Катоптрика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака. Многие из его книг безвозвратно утеряны (свитки содержались в Александрийской библиотеке).
В трактате «Механика» Герон описал пять типов простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок.
В трактате «Пневматика» Герон описал различные сифоны, хитроумно устроенные сосуды, автоматы, приводимые в движение сжатым воздухом или паром. Это эолипил, представлявший собой первую паровую турбину - шар, вращаемый силой струй водяного пара; автомат для открывания дверей, автомат для продажи «святой» воды, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток.
В книге «О диоптре» описан диоптр - простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат.
В «Катоптрике» Герон обосновывает прямолинейность световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения. Герон рассматривает различные типы зеркал, особое внимание уделяя цилиндрическим зеркалам.
«Метрика» Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений:
Формулы для площадей правильных многоугольников.
Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.
Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).
Правила численного решения квадратных уравнений.
Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней.
Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений, по большей части совпадающих с определениями «Начал» Евклида.
Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека.
Ирландский драматург Бернард Шоу
Формула Герона
В школьной математике весьма популярной является формула Герона, применение которой позволяет вычислять площадь треугольника по трем его сторонам. В тоже время мало кто из учеников знает, что существует аналогичная формула для вычисления площади четырехугольников, вписанных в окружность. Такая формула называется формулой Брахмагупты. Также является малоизвестной формула для вычисления площади треугольника по трем его высотам, вывод которой следует из формулы Герона.
Вычисление площади треугольников
Пусть в треугольнике стороны , и . Тогда справедлива следующая теорема (формула Герона).
Теорема 1.
где .
Доказательство. При выводе формулы (1) будем использовать известные геометрические формулы
, (2)
. (3)
Из формул (2) и (3) получаем и . Так как , то
. (4)
Если обозначить , то из равенства (4) вытекает формула (1). Теорема доказана.
Рассмотрим теперь вопрос о вычислении площади треугольника при условии , что известны три ее высоты , и .
Теорема 2. Площадь вычисляется по формуле
. (5)
Доказательство. Так как , и , то
В таком случае из формулы (1) получаем
или
Отсюда вытекает формула (5). Теорема доказана.
Вычисление площади четырехугольников
Рассмотрим обобщение формулы Герона на случай вычисления площади четырехугольников. Однако сразу же необходимо отметить, что такое обобщение возможно только для четырехугольников, которые вписаны в окружность.
Пусть четырехугольник имеет стороны , , и .
Если является четырехугольником , вписанным в окружность , то справедлива теорема 3 (формула Брахмагупты).
Теорема 3. Площадь вычисляется по формуле
где .
Доказательство. В четырехугольнике проведем диагональ и получим два треугольника и . Если к данным треугольникам применить теорему косинусов, которая равносильна формуле (3), то можно записать
Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна , т.е. .
Поскольку или , то из (7) получаем
Или
. (8)
Так как , то . Однако и , поэтому
Поскольку , то из формул (8) и (9) следует
Если положить , то отсюда получаем формулу (6). Теорема доказана.
Если вписанный четырехугольник является одновременно и описанным , то формула (6) значительно упрощается.
Теорема 4. Площадь четырехугольника , вписанного в одну окружность и описанного вокруг другой, вычисляется по формуле
. (10)
Доказательство. Так как в четырехугольник вписана окружность, то выполняются равенства
В таком случае , , , и формула (6) легко преобразуется в формулу (10). Теорема доказана.
Перейдем к рассмотрению примеров задач геометрии , решение которых осуществляется на основе применения доказанных теорем.
Примеры решения задач
Пример 1 . Найти площадь , если , и .
Решение. Так как здесь , то согласно теореме 1 получаем
Ответ: .
Отметим , если стороны треугольника принимают иррациональные значения , то вычисление его площади посредством использования формулы (1) , как правило , является неэффективным. В таком случае целесообразно применять непосредственно формулы (2) и (3).
Пример 2. Найти площадь , если , и .
Решение. Принимая во внимание формулы (2) и (3), получаем
Так как , то или .
Ответ: .
Пример 3. Найти площадь , если , и .
Решение. Поскольку ,
то из теоремы 2 следует, что .
Ответ: .
Пример 4. Треугольник имеет стороны , и . Найти и , где радиусы описанной и вписанной окружностей, соответственно.
Решение. Первоначально вычислим площадь . Так как , то из формулы (1) получаем .
Известно , что и . Поэтому и .
Пример 5. Найти площадь четырехугольника , вписанного в окружность, если , , и .
Решение. Из условия примера следует, что . Тогда, согласно теореме 3, получаем .
Пример 6. Найти площадь четырехугольника , вписанного в окружность, стороны которого , , и .
Решение. Так как и , то в четырехугольнике выполняется равенство . Однако известно, что существование такого равенства является необходимым и достаточным условием того, что в данный четырехугольник можно вписать окружность. В этой связи для вычисления площади можно использовать формулу (10), из которой следует .
Для самостоятельной и качественной подготовки к вступительным испытаниям в области решения задач школьной геометрии можно эффективно использовать учебные пособия , приведенные в списке рекомендованной литературы.
1. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996. – 240 с.
2. Кулагин Е.Д. , Федин С.Н. Геометрия треугольника в задачах. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2009. – 208 с.
3. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.
4. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – .
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Конспект урока
Тема: «Формула Герона и другие формулы для площади треугольника».
Тип урока : урок открытия новых знаний.
Класс: 10.
Цели урока: обеспечить в ходе урока сознательное повторение формул для вычисления площади треугольника, которые изучаются в школьной программе. Показать необходимость знания II формулы Герона, формулы площади треугольника, заданного в прямоугольной системе координат. Обеспечить сознательное усвоение и применение этих формул при решении задач.
Задачи:
Развивающие: развитие логического мышления, способности самостоятельно решать учебные задачи; развитие любознательность учащихся, познавательного интереса к предмету; развитие творческого мышления, математической речи учащихся;
Воспитательные: воспитание интереса к математике; создание условий для формирования коммуникативных навыков и волевых качеств личности.
Образовательные: углубление знани й модуля действительного числа; обучить умению решать типовые задачи.
Универсальные учебные действия:
Личностные: уважение к личности и ее достоинству; устойчивый познавательный интерес; умение вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения.
Регулятивные: ставить цели деятельности на уроке; планировать пути достижения цели; принимать решения в проблемной ситуации на основе переговоров.
Познавательные: в ладеть общими приемами решения задач, выполнения заданий и вычислений; выполнять задания на основе использования свойств модуля действительного числа.
Коммуникативные: а декватно использовать речь для планирования и регуляции своей деятельности; формулировать собственное мнение.
Техническое обеспечение : компьютер, проектор, интерактивная доска.
Структура урока
Мотивационный этап – 2мин.
Домашняя работа – 1 мин.
Этап актуализации знаний по предложенной теме и осуществление первого пробного действия – 10 мин.
Выявление затруднения: в чем сложность нового материала, что именно создает проблему, поиск противоречия - 4 мин.
Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения – 2 мин.
Реализация выбранного плана по разрешению затруднения- 5 мин.
Первичное закрепление нового знания - 10 мин.
Самостоятельная работа и проверка по эталону – 5 мин.
Рефлексия, включающая в себя и рефлексию учебной деятельности, и самоанализ, и рефлексию чувств и эмоций – 1мин.
Ход урока.
Мотивационный этап.
Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Сегодня наш урок пройдёт по следующему плану: в ходе урока мы изучим новую тему: « Формула Герона и другие формулы для площади треугольника »; повторим те формулы, которые вы знаете; научимся применим эти формулы при решении задач. Итак, приступаем к работе.
Этап актуализации знаний по предложенной теме и осуществление первого пробного действия.
Слайд 1.
Запишите тему урока. Прежде чем приступить непосредственно к формулам, давайте вспомним какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?
Слайд 2.
Напишите эти формулы.
Какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете? (учащиеся вспоминает все изученные ими формулы)
Слайд 3.
Площадь прямоугольного треугольника. S= ab. Запишите формулу
Слайд 4.
Площадь любого треугольника. S= а . a = , = Запишите формулу.
Слайд 5. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними.
S=½·ab·sinα. Запишите формулу.
А теперь мы изучим новые формулы для нахождения площади.
Слайд 6.
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности. S = Р r. Запишите формулу.
Слайд 7.
Площадь треугольника через R-радиус описанной окружности.
Запишите формулу.
Слайд 8.
Формула Герона.
Прежде чем приступим к доказательству вспомним две теоремы геометрии - это теорема синусов и теорема косинусов.
1. , a=2R; b=2R; c=2R
2., cos γ = .
Слайд 9- 10
Доказательство формулы Герона. Запишите формулу.
Слайд 11.
Формула площади треугольника по трём сторонам была открыта Архимедом в III в до н.э. Однако соответствующая работа до наших дней не дошла. Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I в н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название Героновых треугольников. Простейшим Героновым треугольником является египетский треугольник
Выявление затруднения: в чем сложность нового материала, что именно создает проблему, поиск противоречия.
Слайд 12.
Найдите площадь треугольника с данными сторонами: 4,6,8. Хватает ли сведений для решения задачи? Через какую формулу можно решить данное задание?
Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения.
Данную задачу можно решить с помощью формулы Герона. Для начало необходимо найти полупериметр треугольника, а затем полученные значения подставить в формулу.
Реализация выбранного плана по разрешению затруднения.
Нахождение р
p =(13+14+15)/2=21
p - a =21-13=8
p-b=21-14=7
p-c=21-15=6
S = 21*8*7*6=84
Ответ :84
Задача №2
Найдите стороны треугольника ABC , если площадь треугольников ABO , BCO , ACO ,где О-центр вписанной окружности, равны 17,65,80 дц 2 .
Решение:
S =17+65+80=162 –складываем площади треугольников. По формуле
S ABO =1/2 AB * r , следовательно 17=1/2 AB * r ; 65=1/2ВС* r ; 80=1/2 AC * r
34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC
Находим р
p = (34+130+160)/2=162/ r
(р-а)=162-34=128 (р- c )=162-160=2
(р- b )=162-130=32
По формуле Герона S = 128/ r *2/ r *32/ r *162/ r =256*5184/ r 4 =1152/ r 2
Т.к S =162, следовательно r = 1152/162=3128/18
Ответ: AB=34 /3128/18, ВС=130/3128/18, АС=160/3128/18.
Первичное закрепление нового знания.
№10(1)
Найдите площадь треугольника с данными сторонами:
№12
Самостоятельная работа и проверка по эталону.
№10.(2)
Домашнее задание . П.83, №10(3), №15
Рефлексия, включающая в себя и рефлексию учебной деятельности, и самоанализ, и рефлексию чувств и эмоций.
Какие формулы вы сегодня повторили?
Какие формулы вы узнали только сегодня?